Fibonacci arvud

FIBONACCI ARVUD

Aastal 1202 uuris Leonardo Fibonacci probleemi,

et kui palju on teatud aja pärast jäneseid, kui nad paljunevad ideaaltingimustes.


Oletame, et meil on kaks vastsündinud jänest – üks emane ja teine isane.

Jänesed on võimelised paljunema alates ühe kuu vanusest ja siis kuu aja möödudes sünnivad pojad. (Seega jänesed saavad endale jänesepojad siis kui nad ise on kahe kuu vanused.)


Teeme oletuse, et sünnib kaks jänesepoega – üks emane ja teine isane.

Teeme ka oletuse, et kõik meie jänesed on surematud ning igal paljunemisvõimelisel paaril sünnib iga kuu täpselt kaks jänesepoega - üks emane ja teine isane.

Fibonacci püstitatud küsimus oli, et mitu paari jäneseid on sellistel tingimustel ühe aasta pärast.

Vaatleme paaride arvu iga kuu möödudes.

Esimese kuu lõpus on ikka ainult 1 paar jäneseid.

Teise kuu lõpus sünnib paar uusi jäneseid, seega on nüüd kaks paari.

Kolmanda kuu lõpus sünnib esimesel paaril jälle üks paar jäneseid, kokku on nüüd 3 paari.

Neljanda kuu lõpuks sünnib esimesel paaril veel üks paar poegi, kuid teise kuu lõpus sündinud paaril sünnivad samuti esimesed järglased, seega on kokku 5 paari.

Kui palju on paare viienda kuu lõpuks?

Millistel paaridel sünnivad viienda kuu lõpus järglased?

Skeemi vaadates näeme, et pojad saavad sündida ainult neil paaridel, kes olid olemas kolmanda kuu lõpus.

Selliseid paare on 3, seega viienda kuu lõpuks on kokku 8 paari jäneseid.

Millistel paaridel sünnivad kuuenda kuu lõpus järglased?

Järglased saavad sündida vaid neil paaridel, kes olid olemas neljanda kuu lõpuks. Seega kokku on 13 paari jäneseid.

Kui samamoodi edasi mõelda, siis saame, et igal järgneva kuu lõpuks on paaride arv võrdne käesoleva ja eelneva kuu paaride arvu summaga.

Edasi saame minna juba ilma pikema aruteluta ja kirja panna paaride arvud iga kuu lõpus: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….

Olemegi leidnud vastuse, et aasta pärast esimese jänesepaari sündi on 144 paari jäneseid.

Fibonacci arvud – naturaalarvude jada kus kaks esimest liiget on võrdsed arvuga 1 ning alates kolmandast liikmest on iga järgmine liige võrdse kahe eelneva summaga.

Esimesed Fibonacci arvud on:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …


Tähistame Fibonacci arvud vastavalt oma järjekorranumbrile reas:

F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2, F(4) = 3, F(5) = 5, F(6) = 8, F(7) = 13, . . .

Fibonacci arvude rea omadusi
* Iga kolmas Fibonacci arv on paarisarv, s.t, et kolmas, kuues, üheksas, kaheteistkümnes jne arvud on paarisarvud. F(3),F(6),F(9) jne, üldiselt F(3k).

* Iga neljas Fibonacci arv jagub kolmega. Jällegi võib märgata, et F(4)=3.

* Iga viies Fibonacci arv jagub viiega, kuna F(5)=5,

* Iga kuues Fibonacci arv jagub kaheksaga, sest F(6)=8...

* Kehtib üldine reegel: iga k-s Fibonacci arv jagub k-da Fibonacci arvuga.

* Sellest saame järelduse, et iga algarvulise Fibonacci arvu järjekorra number peab olema algarv. Sellel on vaid üks erand, järjekorranumber 4 ei ole algarv, aga neljas arv selles reas on 3, mis on algarv.


Fibonacci arvude jada peetakse üheks suureks mõistatuseks, sest sellel jadal on lausa uskumatuid seoseid reaalse maailmaga.

Mõned peavad seda isegi kogu maailmaruumi aluseks ning selle abil olevat võimalik välja selgitada aja, ruumi ja eksistentsi suurimaid saladusi.

Need arvud on tihedalt seotud loodusega.

Näiteks on lillede kroonlehtede arv või spiraalide arv (taimel või viljal) tihti just Fibonacci arv

(allikas: http://www.ttkool.ut.ee/huvitavadarvud/IIosa/fibonacciarvud.htm, pildi allikas: http://www.ttkool.ut.ee/huvitavadarvud/IIosa/images/fibonaccililled.jpg)